Question

【題目】把兩個全等的直角三角板ABC和EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠B＝∠F＝30°，斜邊AB和EF長均為4.

(1)當 EG⊥AC于點K，GF⊥BC于點H時（如圖①），求GH：GK的值.

(2) 現將三角板EFG由圖①所示的位置繞O點沿逆時針方向旋轉，旋轉角α滿足條件：0°＜α<30°（如圖②），EG交AC于點K ，GF交BC于點H，GH：GK的值是否改變？證明你發現的結論；

（3）三角板EFG由圖①所示的位置繞O點逆時針旋轉一周，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形，若存在，請直接寫出相應的旋轉角α(精確到0.1°)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) GH：GK=；(2)不變，GH：GK=GN：GM=；(3)存在，30°、90°、133.2°或346.8°.

【解析】

（1）根據30°的直角三角形的三邊關系，利用已知條件和勾股定理可以求出直角三角形的三邊長度，利用三角形的中位線可以求出GK，和GH的值，可以求出其比值．
（2）作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，利用三角形相似可以求出GH與GK的比值不變．
（3）三角板EFG由圖①所示的位置繞O點逆時針旋轉一周，存在某位置使△BFG是等腰三角形，相應的旋轉角α為：30°、90°、133.2°或346.8°.

（1）∵∠ACB=∠EGF=90°，∠B=∠F=30°
∴AC=AB，EG=EF
∵AB=EF=4
∴AC=EG=2，在Rt△ACB和Rt△EGF中，由勾股定理得
BC=GF=2

∵GE⊥AC，GF⊥BC
∴GE∥BC，GF∥AC
∵G是AB的中點
∴K，H分別是AC、CB的中點
∴GK，GH是△ABC的中位線
∴GK=BC=，GH=AC=1
∴GH：GK=1；；

（2）不變，
理由如下：作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，
∴∠GMC=∠GNH=90°由旋轉的性質可知：
∠2=∠1
∴△GMK∽△GNH
∴

∵GN：GM=1：

∴GH：GK=1：

∴旋轉角α滿足條件：0°＜α＜30°時，GH：GK的值比值不變；

（3）三角板EFG由圖①所示的位置繞O點逆時針旋轉一周，存在某位置使△BFG是等腰三角形，相應的旋轉角α為：30°、90°、133.2°或346.8°．