Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，動點P從A出發以每秒2cm的速度向終點B運動，同時動點Q也從點A出發以每秒1cm的速度向終點E運動．設運動的時間為t秒．解答下列問題：
（1）當0＜t≤3時，以A、P、Q為頂點的三角形能與△ADE相似嗎？（不必說理由）
（2）連接DQ，試求當t為何值時？△ADQ為等腰三角形．
（3）求t為何值時？直線PQ平分矩形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）不能相似，因為相似時，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的銳角不能為30°；
（2）分為三種情況：①當AD=AQ=3cm時，②當DA=DQ時，過D作DM⊥AE于M，③當QA=QD時，求出AQ長即可；
（3）連接AC，取AC中點O（即AO=OC），當直線PQ過O時，直線PQ平分矩形ABCD的面積，根據△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t-2，EQ=5-t，根據△RQE∽△PQA得出=，代入求出即可．
解答：解：（1）不能相似；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，

分為三種情況：①當AD=AQ=3cm時，此時t=3；  
②當DA=DQ時，過D作DM⊥AE于M，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC-CE=6cm-2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，
由三角形的面積公式得：S_△ADE=×AD×DE=AE×DM，
∴DM=cm，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM==（cm），
∵DM⊥AQ，AD=DQ，
∴AQ=2AM=cm（三線合一定理），
即t=；   
③當QA=QD時，
過Q作QN⊥AD于N，
則AN=ND=，
∵∠ADC=∠ANQ=90°
∴QN∥DC，
∵DN=AN，
∴EQ=AQ=AE=×5cm=cm，
即t=
綜合上述，當t為3秒或秒或秒時，△ADQ是等腰三角形．


（3）連接AC，取AC中點O（即AO=OC），當直線PQ過O時，直線PQ平分矩形ABCD的面積，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠OCR=∠OAP，
∵在△ROC和△POA中，
，
∴△ROC≌△POA（ASA），
∴CR=AP=2t，
∵CE=2，
∴RE=2t-2，EQ=5-t，
∵DC∥AB，
∴△RQE∽△PQA，
∴=，
=，
解得：t₁=3，t₂=0（舍去）．
即t=3秒時，直線PQ平分矩形ABCD的面積．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，矩形的性質，全等三角形的性質和判定，含30度角的直角三角形性質，平行線的性質等知識點的綜合運用，用了分類討論思想和方程思想，難度偏大．