Question

（2013•潮安縣模擬）如圖，⊙M與x軸相切于點C，與y軸的一個交點為A．
（1）求證：AC平分∠OAM；
（2）如果⊙M的半徑等于4，∠ACO=30°，求AM所在直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）連結MC，則MC⊥x軸，MC∥y軸，得出∠MCA=∠OAC，再根據MA=MC，得出∠MCA=∠MAC，∠OAC=∠MAC即可，
（2）先證出△MAC是等邊三角形得出AC=MC=4，求出在Rt△AOC中，OA=2，得出A點的坐標，再根據OC=

AC2-OA2

求出OC，得M點的坐標，最后設AM所在直線的解析式為y=kx+b，把A、B點的坐標代入計算即可．

解答：（1）證明：∵圓M與x軸相切于點C
連結MC，則MC⊥x軸，
∴MC∥y軸，
∴∠MCA=∠OAC，
又∵MA=MC，
∴∠MCA=∠MAC，
∴∠OAC=∠MAC
即AC平分∠OAM；   

（2）解：∵∠ACO=30°，
∴∠MCA=60°，
∴△MAC是等邊三角形
∴AC=MC=4
∴在Rt△AOC中，OA=2
即A點的坐標是（0，2），
又∵OC=

AC2-OA2

=

42-22

=2

3

，
∴M點的坐標是（2

3

，4），
設AM所在直線的解析式為y=kx+b
則

2=0•k+b 4=2 3 k+b

，
解得k=

3

3

，b=2            
∴AM所在直線的解析式為y=

3

3

x+2．

點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是切線的性質、勾股定理、等邊三角形的性質、求一次函數的解析式，關鍵是做出輔助線得出等邊三角形．