Question

（2009•樂山）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O為△ABC的內切圓，點D是斜邊AB的中點，則tan∠ODA=（ ）

A．
B．
C．
D．2

Answer 1

【答案】分析：設⊙O與AB，AC，BC分別相切于點E，F，G，連接OE，OF，OG，則OE⊥AB．根據勾股定理得AB=10，再根據切線長定理得到AF=AE，CF=CG，從而得到四邊形OFCG是正方形，根據正方形的性質得到設OF=x，則CF=CG=OF=x，AF=AE=6-x，BE=BG=8-x，建立方程求出x值，進而求出AE與DE的值，最后根據三角形函數的定義即可求出最后結果．
解答：解：過O點作OE⊥AB OF⊥AC OG⊥BC，

∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90°，
∵∠C=90°，AC=6 BC=8，
∴AB=10
∵⊙O為△ABC的內切圓，
∴AF=AE，CF=CG （切線長相等）
∵∠C=90°，
∴四邊形OFCG是矩形，
∵OG=OF，
∴四邊形OFCG是正方形，
設OF=x，則CF=CG=OF=x，AF=AE=6-x，BE=BG=8-x，
∴6-x+8-x=10，
∴OF=2，
∴AE=4，
∵點D是斜邊AB的中點，
∴AD=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴tan∠ODA==2．
故選D．
點評：此題要能夠根據切線長定理證明：作三角形的內切圓，其中的切線長等于切線長所在的兩邊和與對邊差的一半；直角三角形內切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半．