Question

如圖，頂點坐標為（2，-1）的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）設拋物線的對稱軸與直線BC交于點D，連接AC、AD，求△ACD的面積；
（3）點E為直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點F．問是否存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線的頂點，可先將拋物線的解析式設為頂點式，再將點C的坐標代入上面的解析式中，即可確定待定系數的值，由此得解．
（2）可先求出A、C、D三點坐標，求出△ACD的三邊長后，可判斷出該三角形的形狀，進而得到該三角形的面積．（也可將△ACD的面積視為梯形與兩個小直角三角形的面積差）
（3）由于直線EF與y軸平行，那么∠OCB=∠FED，若△OBC和△EFD相似，則△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可據此求出點F的橫坐標，再代入直線BC的解析式中，即可求出點E的坐標．
解答：解：（1）依題意，設拋物線的解析式為 y=a（x-2）²-1，代入C（O，3）后，得：
a（0-2）²-1=3，a=1
∴拋物線的解析式：y=（x-2）²-1=x²-4x+3．

（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
設直線BC的解析式為：y=kx+3，代入點B的坐標后，得：
3k+3=0，k=-1
∴直線BC：y=-x+3；
由（1）知：拋物線的對稱軸：x=2，則 D（2，1）；
∴AD==，AC==，CD==2，
即：AC²=AD²+CD²，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴S_△ACD=AD•CD=××2=2．

（3）由題意知：EF∥y軸，則∠FED=∠OCB，若△OCB與△FED相似，則有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x軸；
將點D縱坐標代入拋物線的解析式中，得：
x²-4x+3=1，解得 x=2±；
當x=2+時，y=-x+3=1-；
當x=2-時，y=-x+3=1+；
∴E₁（2+，1-）、E₂（2-，1+）．
②∠EDF=90°；
易知，直線AD：y=x-1，聯立拋物線的解析式有：
x²-4x+3=x-1，
x²-5x+4=0，
解得 x₁=1、x₂=4；
當x=1時，y=-x+3=2；
當x=4時，y=-x+3=-1；
∴E₃（1，2）、E₄（4，-1）；
綜上，存在符合條件的點E，且坐標為：（2+，1-）、（2-，1+）、（1，2）或（4，-1）．
點評：此題主要考查了函數解析式的確定、圖形面積的解法以及相似三角形的判定和性質等知識；需要注意的是，已知兩個三角形相似時，若對應邊不相同，那么得到的結果就不一定相同，所以一定要進行分類討論．