Question

（2007•濟寧）如圖，先把一矩形ABCD紙片對折，設折痕為MN，再把B點疊在折痕線上，得到△ABE，過B點折紙片使D點疊在直線AD上，得折痕PQ．
（1）求證：△PBE∽△QAB；
（2）你認為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似給出證明，如不相似請說明理由；
（3）如果沿直線EB折疊紙片，點A是否能疊在直線EC上？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）通過證明∠ABQ=∠PEB，∠BPE=∠AQB=90°，得出△PBE∽△QAB；
（2）證明，即，∠ABE=∠BPE=90°，得出△PBE∽△BAE；
（3）由∠AEB=∠CEB可知A能疊在直線EC上．
解答：（1）證明：據題意得：PQ⊥AD，
∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
又∵∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．

（2）解：△PBE和△BAE相似．
證明：∵△PBE∽△QAB，
∴．
∵由折疊可知BQ=PB．
∴，
即．
又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE．

（3）解：點A能疊在直線EC上．
由（2）得，△PBE∽△BAE
∴∠AEB=∠CEB，
∴沿直線EB折疊紙片，點A能疊在直線EC上．
點評：掌握圖形的變化中翻折變換（折疊問題）的特點，考查了相似三角形的判斷和性質．