Question

【題目】已知，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，過點E作EF∥BC交直線AB于點F，連接CF．

（1）如圖1，點D在BC上，AB與DE交于點G，連接BE．求證：四邊形DCFE是平行四邊形；

（2）如圖2，點D在BC的延長線上，若四邊形CDEF是矩形，AC＝7，BC＝4，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

(1)由SAS證明△ACD≌△ABE得出CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，由平行線的性質得出∠ABC＝∠EFB，得出∠ABE＝∠EFB，證出EB＝EF，得出EF＝CD，即可得出結論；

(2)證出∠ACF＝∠AFC，得出AF＝AC＝7，BF＝7+7＝14，由勾股定理得出CF＝DE＝6，證明△ABC∽△ADE，利用相似三角形的對應邊成比例得出比例式即可求得答案．

(1)∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠DAC＝∠EAB，

在△ACD和△ABE中，

，

∴△ACD≌△ABE(SAS)，

∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，

∵EF∥BC，

∴∠ABC＝∠EFB，

∴∠ABE＝∠EFB，

∴EB＝EF，

∴EF＝CD，

∵EF∥BC，

∴四邊形EDCF是平行四邊形；

(2)∵四邊形CDEF為矩形，

∴∠BCF＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∴∠ACF＝∠AFC，

∴AF＝AC＝7，BF＝7+7＝14，

∴DE＝CF＝，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴△ABC∽△ADE，

∴，

∴，

解得：AE＝．