Question

如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)

⑴如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中線，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，試說(shuō)明E是△ABC的自相似點(diǎn)．

⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫出作法并保留作圖痕跡）；

②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

【根據(jù)2011江津市中考試第17題改編】

Answer 1

解⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中線，

∴，∴CD=BD．

∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，

∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．

∴E是△ABC的自相似點(diǎn)．

⑵①作圖略．

作法如下：（i）在∠ABC內(nèi)，作∠CBD＝∠A；

（ii）在∠ACB內(nèi)，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于點(diǎn)P．

則P為△ABC的自相似點(diǎn)

②連接PB、PC．∵P為△ABC的內(nèi)心，

∴，．

∵P為△ABC的自相似點(diǎn)，∴△BCP∽△ABC．

∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，

∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．

∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．

∴．∴該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為、、．