Question

（2013•德慶縣一模）如果方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的兩個根是x₁，x₂，
（1）求證：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q；
（2）已知關于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0）求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數；
（3）已知a，b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值．

Answer 1

分析：（1）利用求根公式求得原方程的兩根，然后求其和與積；
（2）設關于x的方程x²+mx+n=0的兩根為x₁、x₂，則有：x₁+x₂=-m，x₁•x₂=m．且由已知所求方程的兩根為

1

x1

、

1

x2

．則根據韋達定理推知

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

-m

n

．

1

x1

•

1

x2

=

1

x1•x2

=

1

n

，由此易求得一元二次方程；
（3）根據題意知a，b是方程x²-15x-5=0的兩根．所以根據根與系數的關系求得a+b=15，ab=-5，則

a

b

+

b

a

=

(a+b)2-2ab

ab

=

(a+b)2

ab

-2=

152

-5

-2=-47．

解答：解：（1）證法1：∵x²+px+q=0，
∴x1=

p2-4q -p

2

，x2=

- p2-4q -p

2

．
∴x1+x2=

p2-4q -p

2

+

- p2-4q -p

2

=-p，
∴x1x2=

p2-4q -p

2

×

- p2-4q -p

2

=q．
證法2：∵x²+px+q=0的兩根為x₁，x₂．
∴(x-x1)(x-x2)=x2+px+q，
即x2-(x1+x2)x+x1x2=x2+px+q．
∴x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．

（2）設關于x的方程x²+mx+n=0的兩根為x₁、x₂，則有：x₁+x₂=-m，x₁•x₂=n，且由已知所求方程的兩根為

1

x1

、

1

x2

．
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

-m

n

．

1

x1

•

1

x2

=

1

x1•x2

=

1

n

，
∴所求方程為x²-

-m

n

x+

1

n

=0，即nx²+mx+1=0（n≠0）；

（3）∵a，b滿足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
∴a，b是方程x²-15x-5=0的兩根．
∴a+b=15，ab=-5，
∴

a

b

+

b

a

=

(a+b)2-2ab

ab

=

(a+b)2

ab

-2=

152

-5

-2=-47．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．