Question

如圖所示，拋物線y＝ax²＋bx＋c經過原點O，與x軸交于另一點N，直線y＝kx＋4與兩坐標軸分別交于A、D兩點，與拋物線交于B(1，m)、C(2，2)兩點．

(1)求直線與拋物線的解析式．

(2)若拋物線在x軸上方的部分有一動點P(x，y)，設∠PON＝α，求當△PON的面積最大時tanα的值．

(3)若動點P保持(2)中的運動路線，問是否存在點P，使得△POA的面積等于△PON面積的？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)將點代入直線可得 　　所以直線的解析式為 　　當時，，所以點的坐標為(1，3)， 　　將三點的坐標分別代入拋物線，可得 　　解得所以所求的拋物線為．4分 　　(2)因的長是以定值，所以當點為拋物線的頂點時，的面積最大，又該拋物線的頂點坐標為，此時．8分 　　(3)存在把代入直線得，所以點 　　把代入拋物線得或，所以點． 　　設動點坐標為，其中 　　則得： 　　 　　由即 　　解得或，舍去得，由此得 　　所以得點存在，其坐標為(1，3)．12分