Question

（2012•楊浦區二模）已知拋物線y=ax²-x-c過點A（-6，0），與y軸交于點B，頂點為D，對稱軸是直線x=-2．
（1）求此拋物線的表達式及點D的坐標；
（2）連接DO，求證：∠AOD=∠ABO；
（3）點P在y軸上，且△ADP與△AOB相似，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）將對稱軸是直線x=-2，以及點A（-6，0），代入解析式求出即可；
（2）過D作DH⊥x軸，利用D（-2，4），得出在Rt△DHO中tan∠AOD=2，進而得出∠AOD=∠ABO；
（3）分別根據情況1：若∠DAP=90°，情況2：若∠ADP=90°，情況3：若∠APD=90°，分析得出P點坐標即可．

解答：解：（1）由題意得

36a+6-c=0 - -1 2a =-2

，
解得

a=- 1 4 c=-3

，
∴拋物線的表達式為y=-

1

4

x²-x+3，
頂點D坐標為（-2，4）；

（2）過D作DH⊥x軸，
∵D（-2，4），
∴在Rt△DHO中tan∠AOD=2，
又∵B（0，3），A（-6，0），
∴在Rt△ABO中tan∠ABO=2，
∴∠AOD=∠ABO；
             
（3）∵△ADP與△AOB相似，而△AOB為直角三角形，
∴△ADP也為直角三角形，
∴情況1：若∠DAP=90°，
∵D（-2，4），A（-6，0），
∴∠DAO=45°，∴∠OAP=45°，
∴P（0，-6）
但此時AD=4

2

，AP=6

2

，
∴

AD

AP

=

2

3

，又

OB

AO

=

1

2

，
∴△ADP與△AOB不相似，
∴此時點P不存在．           
情況2：若∠ADP=90°，
∵D（-2，4），A（-6，0），
∴∠ADH=45°，∴∠HDP=45°，
∴P（0，2）
此時，

DP

AD

=

2 2

4 2

=

1

2

，

OB

AO

=

1

2

，且∠ADP=∠AOB，
∴△ADP與△AOB相似，
即當P（0，2）時，使得△ADP與△AOB相似．
情況3：若∠APD=90°，設P（0，t），
則AP²+PD²=AD²，
即36+t²+4+（t-4）²=32，得t²-4t+12=0，
∵△＜0，
∴無解，
∴點P不存在．
綜上所述，點P的坐標是（0，2）．

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及相似三角形的性質與判定，以及分類討論思想的應用，根據△ADP不同角為90度分別得出是解題關鍵．