Question

如圖①，正方形ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A?B?C?D勻速運動，同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．
（1）當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標x（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；
（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；
（3）在（1）中當t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標；
（4）如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A?B?C?D勻速運動時，OP與PQ能否相等？若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，觀察圖象可得x與t的關系，進而可得答案；
（2）過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，易得BF=8，OF=BE=4，進而在Rt△AFB中，由勾股定理可得AB=10；進一步易得△ABF≌△BCH，再根據BH與OG的關系，可得C的坐標；
（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，易得△APM∽△ABF；進而可得對應邊的比例關系，解可得AM、PM與t的關系，由三角形面積公式，可得答案．
（4）此題需要分類討論：當P在BC上時，求得t的值；當P在CD上時，求得t的值；即當t=時；當P在BA上時，求得t的值．
解答：解：（1）Q（1，0）（1分）Q的圖象是一條直線，且過點（11，0）．
且點P運動速度每秒鐘1個單位長度．（2分）

（2）過點B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，則BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，AB==10，（3分）
過點C作CG⊥x軸于點G，與FB的延長線交于點H．
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴△ABF≌△BCH．
∴BH=AF=6 CH=BF=8．
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．
∴所求C點的坐標為（14，12）．（4分）

（3）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，
則△APM∽△ABF．
∴，
∴．
∴AM=t，PM=t，
∴PN=OM=10-t，ON=PM=t．
設△OPQ的面積為S（平方單位），
∴S=×（10-t）（1+t）=5+t-t²（0≤t≤10），（5分）
說明：未注明自變量的取值范圍不扣分．
∵a=-，
∴當t=-=時，△OPQ的面積最大．（6分）
此時P的坐標為（，）．（7分）

（4）OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當P點的橫坐標等于Q點的橫坐標的一半時，
當P在BC上時，8+（t-10）=（t+1），解得：t=-15（舍去）
當P在CD上時，14-（t-20）=（t+1），解得：t=，
即當t=時，OP與PQ相等．
當P在BA上時，t=，OP與PQ相等，（9分）
∴當t=或t=時，OP與PQ相等．
點評：本題是一道動態解析幾何題，對學生的運動分析，數形結合的思想作了重點的考查，有一定的難度．