Question

（2010•臺州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點P，Q都是斜邊AB上的動點，點P從B向A運動（不與點B重合），點Q從A向B運動，BP=AQ．點D，E分別是點A，B以Q，P為對稱中心的對稱點，HQ⊥AB于Q，交AC于點H．當點E到達頂點A時，P，Q同時停止運動．設BP的長為x，△HDE的面積為y．
（1）求證：△DHQ∽△ABC；
（2）求y關于x的函數解析式并求y的最大值；
（3）當x為何值時，△HDE為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對稱性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的兩個直角相等，那么所求的三角形相似；
（2）分0＜x≤2.5；2.5＜x≤5兩種情況討論，得到y關于x的函數關系式，再利用二次函數的最值即可求得最大值；
（3）等腰三角形有兩邊相等，根據所在的不同位置再分不同的邊相等解答．
解答：（1）證明：∵A、D關于點Q成中心對稱，HQ⊥AB，
∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，
∴∠HDQ=∠A，
∴△DHQ∽△ABC．

（2）解：①如圖1，當0＜x≤2.5時，
ED=10-4x，QH=AQtanA=x，
此時y=（10-4x）×x=-+x，
當x=時，最大值y=，
②如圖2，當2.5＜x≤5時，
ED=4x-10，QH=AQtanA=x，
此時y=（4x-10）×x=-x=（x-）²-．
當2.5＜x≤5時，y有最大值，最大值為y=，
∴y與x之間的函數解析式為y=，
則當2.5＜x≤5時，y有最大值，其最大值是y=．
綜上可得，y的最大值為．

（3）解：①如圖1，當0＜x≤2.5時，
若DE=DH，∵DH=AH==x，DE=10-4x，
∴10-4x=，x=．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如圖2，當2.5＜x≤5時，
若DE=DH，4x-10=，x=；
若HD=HE，此時點D，E分別與點B，A重合，x=5；
若ED=EH，則∠ADH=∠DHE，
又∵點A、D關于點Q對稱，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴=，x=，
∴當x的值為，，5，時，△HDE是等腰三角形．
點評：本題綜合考查了相似三角形的判定和性質，二次函數的最值等問題，注意分不同位置，邊長相等的不同情況探討三角形為等腰三角形的條件．