Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延長AC到D，使CD=BC，點P是△ABD的內心，則∠BPC=（　　）

• A、145°
• B、135°
• C、120°
• D、105°

Answer 1

分析：已知P為△ABD的內心，則P點必在∠BAC的角平分線上，由于AB=AC，根據等腰三角形的性質可知：P點必在BC的垂直平分線上，即BP=PC，△BPC也是等腰三角形，欲求∠BPC，必先求出∠PBC的度數．
等腰△ABC中，已知了頂角∠A的度數，可求得∠ABC、∠ACB的度數；由于CB=CD，∠ACB是△ABC的外角，由此可求出∠D和∠CBD的度數；由于P是△ABD的內心，則PB平分∠ABD，由此可求得∠PBD的度數，根據∠PBC=∠PBD-∠CBD可求出∠PBC的度數，由此得解．

解答：解：△ABC中，AB=AC，∠A=40°；
∴∠ABC=∠ACB=70°；
∵P是△ABD的內心，
∴P點必在等腰△ABC底邊BC的垂直平分線上，
∴PB=PC，∠BPC=180°-2∠PBC；
在△CBD中，CB=CD，
∴∠CBD=∠D=

1

2

∠ACB=35°；
∵P是△ABD的內心，
∴PB平分∠ABD，
∴∠PBD=

1

2

∠ABD=

1

2

（∠ABC+∠CBD）=52.5°，
∴∠PBC=∠PBD-∠CBD=52.5°-35°=17.5°；
∴∠BPC=180°-2∠PBC=145°．
故選A．

點評：此題比較復雜，考查了三角形的內心及等腰三角形的性質，解答此題要熟知以下概念：
三角形的內心：三角形的三內角平分線交于一點，該點叫做三角形的內心．