Question

如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于 E，F是CE上的一點，且FC=FA，延長AF交圓O于G，連結CG。

（1）試判斷△ACG的形狀（按邊分類），并證明你的結論；

（2）若圓O的半徑為5，OE=2，求CF?CD的值。

Answer 1

解：（1）△ACG是等腰三角形。                  

證明：∵CD⊥AB，∴弧AD=弧AC

∴∠G=∠ACD

∵FC=FA，∴∠ACD =∠CAG

∴∠G=∠CAG

∴△ACG是等腰三角形。                 

（2）連結AD，BC

由（1）知弧AD=弧AC

∴AD=AC

∴∠D=∠AC D

∴∠D=∠G=∠CAG

又∠ACF=∠DCA

∴△ACF∽△DCA

∴ACCD=CFAC，即AC²=CF?CD           

∵CD⊥AB

∴CE²=AE?EB=(5－2)(5+2)=21

∴AC²=AE²+CE²=(5－2)²+21=30

∴CF?CD=30