Question

如圖，點P是半徑為6的⊙O外一點，過點P作⊙O的割線PAB，點C是⊙O上一點，且PC²=PA•PB．求證：
（1）PC是⊙O的切線；
（2）若sin∠ACB=，求弦AB的長；
（3）已知在（2）的條件下，點D是劣弧AB的中點，連接CD交AB于E，若AC：BC=1：3，求CE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CO并延長交⊙O于M，連接AM，根據兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似得到△PAC∽△PCB，從而得到∠PCA=∠B，再根據角之間的關系可得到CM⊥PC即PC是⊙O的切線；
（2）連接AO，并延長AO交⊙O于N，連接BN，根據同弧所對角相等得到∠N=∠ACB，已知AN的長及sin∠ACB的值，根據三角函數公式即可求得AB的長；
（3）連接OD交AB于F，由已知可推出△PCA∽△PBC，根據對應邊的相似比相等可求得PA，PC的長，再根據勾股定理求得OF的長，那么再求CE的長就不難了．
解答：（1）證明：連接CO并延長交⊙O于M，連接AM，
∵PC²=PA•PB，
∴．
∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，∠PCA=∠B．
∵∠B=∠M，
∴∠M=∠PCA．
∵CM是直徑，
∴∠MAC=90°．
∴∠ACM+∠M=90°．
∴∠ACM+∠PCA=90°．
即∠PCM=90°．
∴CM⊥PC．
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：連接AO，并延長AO交⊙O于N，連接BN，
∵AN是直徑，
∴∠ABN=90°∠N=∠ACB，AN=12．
在Rt△ABN中，AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12×=．

（3）解：連接OD交AB于F，
∴OD⊥AB．
∵D是劣弧AB的中點，
∴∠ACD=∠BCD．
∵∠PCA=∠B，
∴∠PCE=∠PEC．
∴PC=PE由△PCA∽△PBC得PC=3PA．
∵PC²=PA•PB，
∴9PA²=PA•PB．
∴9PA=PB=PA+AB．
∴8PA=AB=．
∴PA=．
∴PC=PE=．
AE=，AB=，AF=，EF=
在Rt△OAF中，可求得OF=4，
∴DF=OD-OF=6-4=2，
∴DE=3．
∵AE•EB=DE•CE，
∴CE=5．
點評：此題主要考查學生對切線的判定，解直角三角形及相似三角形的判定等知識點的綜合運用．