Question

【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和N,再分別以M,N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是( )

①AD平分∠BAC；②作圖依據(jù)是S.A.S；③∠ADC=60°； ④點(diǎn)D在AB的垂直平分線(xiàn)上

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是∠BAC的∠平分線(xiàn)；

②根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定出AD的依據(jù)；

③利用角平分線(xiàn)的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)求∠ADC的度數(shù)；

④利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)在AB的中垂線(xiàn)上.

解：如圖所示，

①根據(jù)作圖的過(guò)程可知，AD是∠BAC的∠平分線(xiàn)；

故①正確；

②根據(jù)作圖的過(guò)程可知，作出AD的依據(jù)是SSS；

故②錯(cuò)誤；

③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CBA=60°.

又∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.

故③正確；

④∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD，

∴點(diǎn)D在AB的中垂線(xiàn)上.

故④正確；

故選C.

“點(diǎn)睛”此題主要考查的是作圖-基本作圖，涉及到角平分線(xiàn)的作法以及垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠ADC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.