Question

將一枚六個面分別標有1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數為a，第二次擲出的點數為b．
（1）求點（a，b）落在直線y=2x-1上的概率；
（2）求以點O（0，0），A（4，-3），B（a，b）為頂點能構成等腰三角形的概率；
（3）求關于x，y的方程組只有正數解的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）找到落在落在直線y=2x-1的點即可；
（2）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件數36種結果，而滿足條件的事件是以點（0，0）、（1，-1）、（m，n）為頂點能構成等腰三角形，可以通過列舉得到事件數，根據概率公式得到結果．
（3）列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可．
解答：解：（1）列表得：

	1	2	3	4	5	6
1	（1，1）	（1，2）	（1，3）	（1，4）	（1，5）	（1，6）
2	（2，1）	（2，2）	（2，3）	（2，4）	（2，5）	（2，6）
3	（3，1）	（3，2）	（3，3）	（3，4）	（3，5）	（3，6）
4	（4，1）	（4，2）	（4，3）	（4，4）	（4，5）	（4，6）
5	（5，1）	（5，2）	（5，3）	（5，4）	（5，5）	（5，6）
6	（6，1）	（6，2）	（6，3）	（6，4）	（6，5）	（6，6）

∵落在直線y=2x-1上的點有（1，1）、（2，3）、（3，5）三個，
∴點（a，b）落在直線y=2x-1上的概率為=；

（2）由題意知本題是一個古典概型，
試驗發生包含的事件數36種結果，
而滿足條件的事件是以點（0，0）、（4，-3）、（m，n）為頂點能構成等腰三角形，
（4，3）與（3，4），（4，2），（1，1），共有4種結果，
根據古典概型概率公式得到概率是，

（3）當2a-b=0時，方程組無解；
當2a-b≠0時，方程組的解為由a、b的實際意義為1，2，3，4，5，6可得．
易知a，b都為大于0的整數，則兩式聯合求解可得x=，y=，
∵使x、y都大于0則有＞0，，＞0，
∴解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，而a，b都為1到6的整數，
所以可知當a為1時b只能是4，5，6；或者a為2，3，4，5，6時b為1或2，
這兩種情況的總出現可能有3+10=13種；
又擲兩次骰子出現的基本事件共6×6=36種情況，故所求概率為．
點評：本題考查了列表法或樹狀圖求概率，第三題中難點是：當方程組相同未知數的系數之比相等，但與常數項之比不相等時，方程組無解，關鍵是得到使方程組為正整數的解的個數．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．