Question

10、如圖所示在三角形△ABC中AB=AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則下列四個結論中，①AB上一點與AC上一點到D的距離相等；②AD上任意一點到AB、AC的距離相等；③∠BDE=∠CDF；④BD=CD，AD⊥BC．其中正確的個數是（　　）

A、1個

B、2個

C、3個

D、4個

Answer 1

分析：利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等，得①、②正確；通過證明△BED≌△CFD，可得到③中的結論；利用等腰三角形底邊上的中線、高線與頂角的角平分線三線合一，可得④中的結論．

解答：解：①∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，∴DE=DF，∴①AB上一點與AC上一點到D的距離相等；
②∵AD是△ABC的角平分線，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，∴AD上任意一點到AB、AC的距離相等；
③∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠BED=∠CFD，DE=DF，∴△BED≌△CFD，∴BDE=∠CDF；
④∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD=CD，AD⊥BC．
所以①、②、③、④均正確，故選D．

點評：本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定及其性質等知識．根據相關知識對各選項進行逐個驗證是正確解答本題的關鍵．