Question

已知拋物線y=

1

2

x2-(m-3)x+

5-4m

2

．
（1）求證：無論m為任何實數，拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）若A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是拋物線上的兩個不同點，求拋物線的解析式和n的值；
（3）若反比例函數y=

k

x

(k＞0，   x＞0)的圖象與（2）中的拋物線在第一象限內的交點的橫坐標為x₀，且滿足2＜x₀＜3，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據原式等于0，利用根的判別式△＞0即可得出答案；
（2）首先利用拋物線上兩個不同點A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的縱坐標相同，得出點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱，則m-3=

(n-3)+(-n+1)

2

=-1，進而求出m的值，即可得出二次函數解析式，即可得出n的值；
（3）根據當2＜x＜3時，對于y=

1

2

x2+x-

3

2

，y隨著x的增大而增大，再利用x=2和3時y的值得出k的取值范圍．

解答：（1）證明：令

1

2

x2-(m-3)x+

5-4m

2

=0．
得△=[-(m-3)]2-4×

1

2

×

5-4m

2

=m²-2m+4=（m-1）²+3．
∵不論m為任何實數，都有（m-1）²+3＞0，即△＞0．
∴不論m為任何實數，拋物線與x軸總有兩個交點．
x=-

-(m-3)

2× 1 2

=m-3．

（2）解：拋物線y=

1

2

x2-(m-3)x+

5-4m

2

的對稱軸為：x=m-3，
∵拋物線上兩個不同點A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的縱坐標相同，
∴點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱，則m-3=

(n-3)+(-n+1)

2

=-1．
∴m=2．
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x2+x-

3

2

．   
∵A（n-3，n²+2）在拋物線y=

1

2

x2+x-

3

2

上，
∴

1

2

(n-3)2+(n-3)-

3

2

=n2+2．
化簡，得n²+4n+4=0．
∴n=-2．　　

（3）解：當2＜x＜3時，
對于y=

1

2

x2+x-

3

2

，y隨著x的增大而增大，
對于y=

k

x

(k＞0，   x＞0)，y隨著x的增大而減小．
所以當x₀=2時，由反比例函數圖象在二次函數圖象上方，
得

k

2

＞

1

2

×22+2-

3

2

，
解得：k＞5．
當x₀=3時，由二次函數圖象在反比例函數圖象上方，
得

1

2

×32+3-

3

2

＞

k

3

，
解得k＜18．
所以k的取值范圍為：5＜k＜18．

點評：此題主要考查了拋物線與x軸交點問題以及二次函數與不等式等知識，根據二次函數圖象上點的特征得出n的值是解題關鍵．