Question

【題目】（解決問題）已知，，是同一平面上的三個點，以線段，為邊，分別作正三角形和正三角形，連接，．

（1）如圖1，當點，，在同一直線上時，線段與的大小關系是__________；

（2）如圖2，當，，為三角形的頂點時（點，，不在同一條直線上），判斷線段與的大小關系是否發生改變，并說明理由；

（類比猜想）

（3）已知，，是同一平面上的三個點，以線段，為邊，分別作正方形，連接，，如圖3和圖4所示．判斷線段與的大小關系，并在圖4（點，，不在同一條直線上）中證明你的判斷；

（推廣應用）（4）上面的這些結論能否推廣到任意正多邊形（不必證明）？

（5）如圖5，與的大小關系是__________，并寫出它們分別在哪兩個全等三角形中；

（6）請在圖6中連接圖中兩個頂點，構造處一組全等三角形，并寫出這兩個全等的三角形．

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）沒有發生變化，理由見解析；（3）=，理由見解析；（4）能推廣到任意正多邊形；（5）相等；△ABD’≌△DBC；（6）△GAD’≌△BAC．

【解析】

（1）根據正三角形的性質證明△ABD’≌△DBC，即可求解；

（2）同理證明△ABD’≌△DBC，即可求解；

（3）根據正方形的性質同理證明△ABD’≌△DBC，即可求解；

（4）根據題意及圖形的特點可知這些結論能否推廣到任意正多邊形；

（5）根據正五邊形的性質同理證明△ABD’≌△DBC，即可求解；

（6）連接GD’，證明△ABC≌△AGD’即可求解．

（1）∵△ABD、△BCD’是等邊三角形，

∴AB=BD,BD’=BC,

∵,

∴

∴△ABD’≌△DBC（SAS）

∴=

故答案為：相等；

（2）線段與的大小關系沒有改變，理由如下：

∵△ABD、△BCD’是等邊三角形，

∴AB=BD,BD’=BC,

∵,

∴

∴△ABD’≌△DBC（SAS）

∴=

（3）在如圖3和圖4．判斷線段與的大小關系為相等，理由如下：

∵四邊形ABDE、四邊形BCD’E’是正方形，

∴AB=BD,BD’=BC,

∵,

∴

∴△ABD’≌△DBC（SAS）

∴=

故線段與的大小關系為相等；

（4）根據題意及圖形的特點同理可得△ABD’≌△DBC，則=

故線段與的大小關系為相等，能推廣到任意正多邊形；

（5）∵五邊形ABDEF、五邊形BCF’E’ D’是正方形，

∴AB=BD,BD’=BC,

∵,

∴

∴△ABD’≌△DBC（SAS）

∴=

故答案為：相等；△ABD’≌△DBC；

（6）如圖，連接GD’，

∵六邊形ABDEFG、六邊形ACG’F’E’ D’是正方形，

∴AB=AG,AD’=AC,

∵,

∴

∴△GAD’≌△BAC（SAS）

故答案為△GAD’≌△BAC．