Question

在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm（如圖1）．動點P，Q同時從點B出發，點P沿BA，AD，DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到C點停止．兩點運動時的速度都是1cm/s．而當點P到達點A時，點Q正好到達點C．設P，Q同時從點B出發，經過的時間為t（s）時，△BPQ的面積為y（cm²）（如圖2）．分別以x，y為橫、縱坐標建立直角坐標系，已知點P在AD邊上從A到D運動時，y與t的函數圖象是圖3中的線段MN．
（1）分別求出梯形中BA，AD的長度；
（2）寫出圖3中M，N兩點的坐標；
（3）分別寫出點P在BA邊上和DC邊上運動時，y與t的函數關系式（注明自變量的取值范圍），并在答題卷的圖4（放大了的圖3）中補全整個運動中y關于t的函數關系的大致圖象．

Answer 1

分析：（1）P在AD邊上運動時，三角形BQP以BQ為底邊，以CD的長為高，因此可根據三角形BQP的面積為30cm²求出BC=10cm，而P、Q速度相同，P到A的時間與Q到C的時間相同，因此BA=BC．那么BA=BC=10cm．
求AD的長可通過構建直角三角形來求解．過A作AH⊥BC與H，那么在直角三角形ABH中，AH=CD=6cm，BA=10cm；因此可根據勾股定理求出BH=8cm，那么AD=BC-BH=2cm．
（2）根據（1）得出的BA、AD的長，可求出P從B運動到A，從A運動到D分別用了多少時間，即可求出M、N的橫坐標，已知M、N的縱坐標為30，由此可得出M、N的坐標．
（3）三角形BQP中，BQ=t，BP=t，以BQ為底邊的高，可用BP•sinB來表示，然后可根據三角形的面積計算公式得出關于y，t的函數關系式．

解答：解：（1）設動點出發t秒后，點P到達點A且點Q正好到達點C時，BC=BA=t，
則S_△BPQ=

1

2

×t×6=30，
所以t=10（秒）．
則BA=10（cm），
過點A作AH⊥BC于H，
則四邊形AHCD是矩形，
∴AD=CH，CD=AH=6cm，
在Rt△ABH中，BH=8cm，
∴CH=2cm，
∴AD=2cm；

（2）可得坐標為M（10，30），N（12，30）；

（3）當點P在BA邊上時，
y=

1

2

×t×tsinB=

1

2

t²×

6

10

=

3

10

t²（0≤t＜10）；
當點P在DC邊上時，
y=

1

2

×10×（18-t）=-5t+90（12＜t≤18）；
圖象見下．

點評：本題結合梯形、三角形的相關知識考查了二次函數的綜合應用．借助函數圖象表達題目中的信息，讀懂圖象是關鍵．