Question

如圖，已知平面直角坐標系xOy，拋物線y=-x²+bx+c過點A（4，0）、B（1，3）．
（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的頂點坐標；
（2）在x軸的正半軸上是否存在點P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y=-x²+bx+c過點A（4，0）、B（1，3）列出關于b和c的二元一次方程組，求出b和c，拋物線解析式求出，頂點坐標即可求出；
（2）假設存在P（a，0），分三種情況進行討論，①當PB=PA時，②當PB=BA時，③當PA=AB時，分別求出滿足△PAB是等腰三角形時a的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過點A（4，0）、B（1，3），
∴

-16+4b+c=0 -1+b+c=3

，
∴

b=4 c=0

，
∴拋物線的表達式y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴拋物線的頂點坐標為（2，4），

（2）假設存在P（a，0），
①當PB=PA時，

(1-a)2+32

=|4-a|，
解得a=1，
此時P點坐標為（1，0），
②當PB=BA時，

(1-a)2+32

=

32+(1-4)2

，
解得a=-2，
此時P點坐標為（-2，0），
③當PA=AB時，
|a-4|=3

2

，
解得a=4+3

2

或a=4-3

2

，
此時P點坐標為（4+3

2

，0）或（4-3

2

，0），
綜上所述，滿足條件P的坐標（1，0）、（-2，0）、（4+3

2

，0）或（4-3

2

，0）．

點評：本題主要考查二次函數的綜合題，解答本題的關鍵是正確求出函數的解析式，解答第二問的時候需要分三種情況進行討論，同學們很容易出現漏解的情況，請同學們解答的時候稍加注意．