Question

 已知：如圖，正方形紙片ABCD的邊長是4，點M、N分別在兩邊AB和CD上（其中點N不與點C重合），沿直線MN折疊該紙片，點B恰好落在AD邊上點E處．

1.（1）設AE＝x，四邊形AMND的面積為 S，求 S關于x 的函數解析式，并指明該函數的定義域；

2.（2）當AM為何值時，四邊形AMND的面積最大？最大值是多少？

3.（3）點M能是AB邊上任意一點嗎？請求出AM的取值范圍．  

 

Answer 1

 

1.⑴依題意，點B和E關于MN對稱，則ME=MB=4-AM.

再由AM²+AE²=ME²=(4-AM)²，得AM=2-.            ……………………1分

作MF⊥DN于F，則MF=AB，且∠BMF=90°.

∵MN⊥BE，∴∠ABE= 90°-∠BMN.

又∵∠FMN =∠BMF-∠BMN=90°-∠BMN，

∴∠FMN=∠ABE.

∴Rt△FMN≌Rt△ABE.

∴FN=AE=x，DN=DF+FN=AM+x=2-+x.            ………………………2分

∴S=(AM+DN)×AD

=(2-+)×4

= -+2x+8.                                ……………………………3分

其中，0≤x＜4.  

2.⑵∵S= -+2x+8= -(x-2)²+10,

  ∴當x=2時，S_最大=10；             …………………………………………5分

此時，AM=2-×2²=1.5              ………………………………………6分

答：當AM=1.5時，四邊形AMND的面積最大，為10

3.⑶不能，0＜AM≤2.

解析:略