Question

（2005•蘭州）已知二次函數y=ax²-4a圖象的頂點坐標為（0，4）矩形ABCD在拋物線與x軸圍成的圖形內，頂點B、C在x軸上，頂點A、D在拋物線上，且A在D點的右側，
（1）求二次函數的解析式______；
（2）設點A的坐標為（x，y），試求矩形ABCD的周長L與自變量x的函數關系；
（3）周長為10的矩形ABCD是否存在？若存在，請求出頂點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用待定系數法求解即可：y=-x²+4?；
（2）根據解析式可表示出AD=2x，AB=-x²+4，所以矩形ABCD的周長L與自變量x的函數關系為l=-2x²+4x+8?（0＜x＜2）；
（3）直接把l=10代入解析式求得x=1，結合實際意義可知存在周長為10的矩形ABCD，且點A的坐標為（1，3）．
解答：解：（1）由題意得-4a=4
∴a=-1
∴二次函數的解析式為?y=-x²+4
（2）設點A（x，y）
∵點A在拋物線y=-x²+4上
∴y=-x²+4則AD=2x，AB=-x²+4
∴L=2（AD+AB）=2（2x-x²+4）=-2x²+4x+8?（0＜x＜2?）?
（3）當L=10時-2x²+4x+8=10x²-2x+1=0
∴x₁=x₂=1
∴當x=1時，y=-1+4=3
∴存在周長為10的矩形ABCD，且點A的坐標為（1，3）．
點評：主要考查了用待定系數法求二次函數的解析式和矩形的性質．一般步驟是先設y=ax²+bx+c，再把對應的三個點的坐標代入解出a，b，c的值即可得到解析式．解題關鍵是利用矩形的性質和二次函數有機的結合在一起，利用數形結合的思想解題．