Question

如圖，已知直線y=x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉90°后得到△COD．
（1）點C的坐標是______線段AD的長等于______；
（2）點M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x²+bx+c經過點C，M，求拋物線的解析式；
（3）如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B的坐標，進而得出C點坐標以及線段AD的長；
（2）首先得出點M是CD的中點，即可得出M點坐標，進而利用待定系數法求二次函數解析式；
（3）分別根據當點F在點C的左邊時以及當點F在點C的右邊時，分析四邊形CFPE為菱形得出即可．
解答：解：（1）∵直線y=x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴y=0時，x=-3，x=0時，y=1，
∴A點坐標為：（-3，0），B點坐標為：（0，1），
∴OC=3，DO=1，
∴點C的坐標是（0，3），線段AD的長等于4；

（2）∵CM=OM，
∴∠OCM=∠COM．
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，
∴∠ODM=∠MOD，
∴OM=MD=CM，
∴點M是CD的中點，
∴點M的坐標為（，）．
（說明：由CM=OM得到點M在OC在垂直平分線上，所以點M的縱坐標為，再求出直線CD的解析式，進而求出點M的坐標也可．）
∵拋物線y=x²+bx+c經過點C，M，
∴，
解得：．
∴拋物線y=x²+bx+c的解析式為：y=x²-x+3．

（3）拋物線上存在點P，使得以C，E，F，P為頂點的四邊形是菱形．
情形1：如圖1，當點F在點C的左邊時，四邊形CFEP為菱形．

∴∠FCE=∠PCE，
由題意可知，OA=OC，
∴∠ACO=∠PCE=45°，
∴∠FCP=90°，
∴菱形CFEP為正方形．
過點P作PH⊥CE，垂足為H，
則Rt△CHP為等腰直角三角形．
∴CP=CH=PH．
設點P為（x，x²-x+3），則OH=x²-x+3，PH=x，
∵PH=CH=OC-OH，
∴3-（x²-x+3）=x，
解得：x=
∴CP=CH=×=，
∴菱形CFEP的周長l為：×4=10．
情形2：如圖2，當點F在點C的右邊時，四邊形CFPE為菱形．

∴CF=PF，CE∥FP．
∵直線AC過點A（-3，0），點C（0，3），
∴直線AC的解析式為：y=x+3．
過點C作CM⊥PF，垂足為M，
則Rt△CMF為等腰直角三角形，CM=FM．
延長PF交x軸于點N，
則PN⊥x軸，∴PF=FN-PN，
設點P為（x，x²-x+3），則點F為（x，x+3），
∴FC=x，FP=（x+3）-（x²-x+3）=-x²+x，
∴x=-x²+x，
解得：x=-，
∴FC=x=-2，
∴菱形CFEP的周長l為：（-2）×4=18-8．
綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長為10或18-8．
點評：此題主要考查了二次函數綜合應用以及菱形的判定與性質等知識，根據已知進行分類討論得出是解題關鍵．