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已知拋物線y=x2-(a+b)x+數(shù)學(xué)公式,其中a、b、c分別為△ABC中∠A,∠B,∠C的對(duì)邊.
(1)求證:該拋物線與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為P、Q,頂點(diǎn)為R,且∠PQR=α,tanα=數(shù)學(xué)公式,若△ABC的周長(zhǎng)為10,求拋物線的解析式;
(3)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線y=x2-(a+b)x+數(shù)學(xué)公式交于點(diǎn)E、F,與y軸交于點(diǎn)M,且拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=a,O是坐標(biāo)原點(diǎn),△MOE與△MOF的面積之比為5:1,試判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論.

(1)證明:y=x2-(a+b)x+
△=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c)
∵a,b,c為三角形三條邊
∴a+b+c>0,a+b>c,a+b-c>0
∴△>0
∴拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn)

(2)解:設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為D
R(,),
∴RD=
∵PQ=|x1-x2|=,DQ=,tanα===
=2,
∴(a+b)2-c2=20
∵△ABC周長(zhǎng)為10,
∴a+b=10-c,(10-c)2-c2=20,c=4,a+b=6
∴y=x2-6x+4

(3)解:y=x2-(a+b)x+
對(duì)稱(chēng)軸x==a,
∴a=b;
求交點(diǎn)橫坐標(biāo):
解之得:x2-3ax+ac+=0
∴x=
∵拋物線與y軸交點(diǎn)(0,)在y軸正半軸.
直線y=ax-bc與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸,a>0
∴x1>0,x2>0,
===5
=2a
∴9a2-4ac-c2=4a2
∴5a2-4ac-c2=0,即(a-c)(5a+c)=0
∵5a+c≠0,
∴a=c
∴a=b=c,△ABC為等邊三角形.
分析:(1)拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),令y=0,那么得出的方程的△必大于0,已知了a、b、c是三角形的三邊,可根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行求解.
(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為D,根據(jù)α的正切值可得出=,根據(jù)拋物線的解析式可得出頂點(diǎn)R的坐標(biāo),即可得出RD的值,然后根據(jù)韋達(dá)定理表示出PQ的長(zhǎng),進(jìn)而可得出QD的表達(dá)式,根據(jù)α的正切值和a+b+c=10即可求出拋物線的解析式.
(3)由于△MOE與△MOF等底,因此面積比等于高的比.即兩三角形的面積比等于E、F的橫坐標(biāo)的比.可先表示出E、F的橫坐標(biāo),然后根據(jù)橫坐標(biāo)比為5:1求出a、b、c的關(guān)系,進(jìn)而可判斷出△ABC的形狀.
點(diǎn)評(píng):本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、韋達(dá)定理、二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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A、4B、8C、-4D、16

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已知拋物線y=x2+(1-2a)x+a2(a≠0)與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0)(x1≠x2).
(1)求a的取值范圍,并證明A、B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)O的左側(cè);
(2)若拋物線與y軸交于點(diǎn)C,且OA+OB=OC-2,求a的值.

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如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與y軸正半軸交于點(diǎn)B,且OA=OB.
精英家教網(wǎng)(1)求b+c的值;
(2)若點(diǎn)C在拋物線上,且四邊形OABC是平行四邊形,試求拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,作∠OBC的角平分線,與拋物線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(1)求b、c的值;
(2)將△OAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A落到點(diǎn)C的位置,該拋物線沿y軸上下平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,求平移后所得拋物線的表達(dá)式;
(3)設(shè)(2)中平移后所得的拋物線與y軸的交點(diǎn)為A1,頂點(diǎn)為M1,若點(diǎn)P在平移后的拋物線上,且滿足△PMM1的面積是△PAA1面積的3倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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