Question

已知m是不等式組

2m-1≥0 4-3m＞0

的整數解，a、b是關于x的方程x²-mx-m=0的兩個實根．  
求：（1）a³+b³的值；  
（2）a⁴+3b的值．

Answer 1

分析：先解不等式組，求出m，再把m的值代入方程可得x²-x-1=0，利用根與系數的關系可得，a+b=1，ab=-1，利用立方公式、整體代入可求a³+b³的值；
由于a是方程的解，那么a²-a-1=0，易得a²=a+1，再把a²=a+1整體代入a⁴+3b中，結合a+b=5，易求值．

解答：解：由不等式解得

1

2

≤m＜

4

3

，
∵m為整數，
∴m=1，
方程x²-x-1=0的兩根為a，b，
（1）由根與系數關系

a+b=1 ab=-1

，
∴a³+b³=（a+b）³-3ab（a+b）=4，
（2）由于a，b是方程的兩根，因此有：a²-a-1=0，即a²=a+1，
∴a⁴=（a+1）²=a²+2a+1=（a+1）+2a+1=3a+2，
原式=3a+2+3b=3（a+b）+2=5．

點評：本題考查了根與系數的關系、解不等式組，解題的關鍵是先求出m，得出具體方程．