Question

己知，如圖在直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC所在直線的解析式為y=-

3

3

+1．
（1）求線段AC的長和∠ACO的度數；
（2）動點P從點C開始在線段CO上以每秒

3

個單位長度的速度向點O移動，動點Q從點O開始在線段OA上以每秒1個單位長度的速度向點A移動，（P、Q兩點同時開始移動）設P、Q移動的時間為t秒．
①設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并求出當t為何值時，S有最小值；
②是否存在這樣的時刻t，使得△OPQ與△BCP相似，并說明理由；
（3）在坐標平面內存在這樣的點M，使得△MAC為等腰三角形且底角為30°，寫出所有符合要求的點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據直線AC的解析式可以求出直線與對稱軸的交點坐標，進而求出OA、OC的長度，根據勾股定理就可以求出AC的長度，根據三角函數可以求出∠ACO的度數．
（2）①S_△PBQ=S-S_△POQ-S_△PBC，而△PQO與△PBC的面積可以用時間t表示出來，就可以求出S與t之間的函數關系式．
②△OPQ與△BCP相似，應分△OPQ∽△CBP與△OPQ∽△CPB兩種情況進行討論．根據對應邊的比相等，就可以求出函數的解析式．
（3）△MAC為等腰三角形且底角為30°，應分AC是底邊與腰兩種情況進行討論．

解答：解：（1）令x=0得y=-

3

3

×0+1=1
∴A點坐標為（0，1）
令y=0得0=-

3

3

×x+1=1
∴x=

3

C點坐標為（

3

，0）
∴AC=

OA2+OC2

=2
在Rt△AOC中，
∵tan∠ACO=

OA

OC

=

1

3

=

3

3

∴∠ACO=30°

（2）P、Q兩點同時開始移動t秒時
①∵OQ=t，PC=

3

t
∴S_△POQ=

1

2

×|OP|×|OQ|=

1

2

3

（1-t）t
S_△PBC=

1

2

×|CP|×|BC|=

1

2

3

t×1
∵S_△PBQ=S-S_△POQ-S_△PBC
∴S_△PBQ=

3

2

(t-

1

2

)2+

3 3

8

∴當t=

1

2

時，S_△PBQ最小值為

3 3

8

．
②i假設存在△OPQ∽△CBP
∴

OP

BC

=

OQ

PC

3 (1-t)

1

=

t

3 t

∴t₁=0（舍去），t₂=

2

3

ii△OPQ∽△CPB
∴

OP

PC

=

OQ

BC

3 (1-t)

3 t

=

t

1

∴t₃=

-1+ 5

2

，t₄=

-1- 5

2

（舍去）；

（3）M₁（

3

3

，0），M₂（

2 3

3

，1），M₃（

3

，-2），M₄（2

3

，1），M₅（0，3），M₆（-

3

，0）．

點評：本題主要考查了三角函數的定義，求不規則圖形的面積可以轉化為一些規則圖形的面積的和或差的問題．