Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，OF⊥AC于點F．
（1）證明：△ABC∽△DBE；
（2）若∠CAB=30°，AF=

3

，用扇形OAC圍成一個圓錐，求該圓錐底面圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）求出∠ACB=∠DEB，∠A=∠D，根據相似三角形的判定定理求出即可；
（2）利用弧AC的長度得出底面圓的周長，進而得出圓錐的半徑．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠ACB=∠DEB．
又∵∠A=∠D，
∴△ACB∽△DEB．

（2）∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAB=30°．
∴∠AOC=120°．
∵OF⊥AC，
∴∠AFO=90°．
在Rt△AFO中，cos30°=

AF

OA

=

3

AO

，
∴AO=2．
∴

AC

的長為

120

180

•π•2=

4

3

π．
∴圓錐的底面半徑=

4 3 π

2π

=

2

3

．

點評：此題主要考查了圓周角定理以及圓錐的性質和相似三角形的判定，正確區分圓錐與展開圖的對應情況是解決問題的關鍵．