Question

【題目】如圖1，A村和B村在一條大河CD的同側，它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和4千米，又知道CD的長為4千米．

（1）現要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水．有兩種方案備選

方案1：水廠建在C點，修自來水管道到A村，再到B村（即AC+AB)．（如圖2）

方案2：作A點關于直線CD的對稱點A'，連接A'B交CD于M點，水廠建在M點處，分別向兩村修管道AM和BM．（即AM+BM)(如圖3）

從節約建設資金方面考慮，將選擇管道總長度較短的方案進行施工，請利用已有條件分別進行計算，判斷哪種方案更合適．

（2）有一艘快艇Q從這條河中駛過，當快艇Q在CD中間，DQ為多少時?△ABQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）方案1更合適；（2）當DQ=3或時，△ABQ為等腰三角形．

【解析】

（（1）分別求出兩種路線的長度，比較即可；

（2）如圖，①AQ1=AB=5或AQ4=AB=5時，②AB=BQ2=5或AB=BQ5=5時，③當AQ3=BQ3時，根據勾股定理即可得到結論．

解：（1）方案1：

過點A作AE⊥BD于點E，

∵BD=4，AC=1，

∴BE=3，

∴AB=，

∴ AC+AB=1+5=6；

方案2：

過點A′作A′H⊥BD于點H，則BH=4+1=5，

∴A′B=，

∵6<，

∴方案1路線短，更合適；

（2）如圖，G為CD中點，

①AQ1=AB=5或AQ4=AB=5時，

CQ1=CQ4==2，

∴QG=2+2（舍去）或2-2（舍去）；

②AB=BQ2=5或AB=BQ5=5時，

DQ==3，

∴QG=3-2=1或3+2=5（舍去），

③當AQ3=BQ3時，

（GQ3+2）2+12=（2-GQ3）2+42，

解得：GQ3=，

DQ=2-=．

故當DQ=3或時，△ABQ為等腰三角形．