Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．給出以下五個結論：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切線．其中正確的有（　　）

A．5個

B．4個

C．3個

D．2個

Answer 1

分析：首先由AB是⊙O的直徑，得出AD⊥BC，推出BD=DC，再由OA=OB，推出OD是△ABC的中位線，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切線，然后由DF⊥AC，AD⊥BC，推出△CDE為等腰三角形，從而推出∠A=2∠FDC，CF=EF．最后由假設推出

AE

=

DE

不正確；

解答：解：連接OD，AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴AD⊥BC；
而在△ABC中，AB=AC，
∴AD是邊BC上的中線，
∴BD=DC（正確）；
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切線（正確）；
∵DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠FDC=∠CAD，
又AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠A=2∠CAD=2∠FDC（正確）；
∵DF是⊙O的切線，
∴∠FDE=∠CAD=∠FDC，
∴∠C=∠DEC，
∴DC=DE，
又DF⊥AC，
∴CF=EF（正確）；
當∠EAD=∠EDA時，

AE

=

DE

，此時△ABC為等邊三角形，
當△ABC不是等邊三角形時，
∠EAD≠∠EDA，
則

AE

≠

DE

，
∴

AE

=

DE

（不正確）；
綜上，正確結論的序號是①②④⑤，
故選：B．

點評：此題考查的知識點是切線的判定與性質、等腰三角形的性質及圓周角定理，解答此題的關鍵是運用等腰三角形性質及圓周角定理及切線性質作答．