Question

如圖，在⊙O中，OA、OB是半徑，且OA⊥OB，OA=6，點C是AB上異于A、B的動點．過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連接DE，點G、H在線段DE上，且DG=GH=HE．
（1）求證：四邊形OGCH為平行四邊形；
（2）①當點C在AB上運動時，在CD、CG、DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度；若不存在，請說明理由；
②求CD²+CH²之值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明四邊形OECD是矩形，得出OG=CH，同理可證OH=CG，得出四邊形OGCH為平行四邊形；
（2）①根據點C是AB上的點，OA=6，得出OC=OA=6，由DG=GH=HE，得出DG=ED=2；
②首先得出△DHF∽△DEC，進而得出，利用，從而得出CF=CD-FD=CD，再利用勾股定理得出CD²+CH²的值．
解答：（1）證明：如圖，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC=∠OEC=90°
又∵∠AOB=90°，
∴四邊形OECD是矩形．
∴OD=EC，且OD∥EC，
∴∠ODG=∠CEH
∵DG=EH，
∴△ODG≌△CEH，
∴OG=CH．
同理可證OH=CG
∴四邊形OGCH為平行四邊形；

（2）解：①線段DG的長度不變．
∵點C是AB上的點，OA=6．
∴OC=OA=6
∵四邊形OECD是矩形，
∴ED=OC=6，
∵DG=GH=HE，
∴DG=ED=2；

②如圖，過點H作HF⊥CD于點F，
∵EC⊥CD，
∴HF∥EC，
∴△DHF∽△DEC，
∴，
∴，
從而CF=CD-FD=CD
在Rt△CHF中，CH²=HF²+CF²=HF²+CD²
在Rt△HFD中，HF²=DH²-DF²=CD²，
∴CH²=CD²+CD²=16-CD²
∴．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的性質和勾股定理等知識，根據已知得出CH²=CD²+CD²=16-CD²是解題關鍵．