Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

1

2

，8），直線y=-x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q（4，m）．
（1）求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P，連接0P、OQ，求△OPQ的面積．
（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值不小于反比例函數(shù)的函數(shù)值．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)（

1

2

，8）代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，將Q坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，確定出Q坐標(biāo)，將Q坐標(biāo)代入直線解析式中求出b的值，即可確定出直線解析式；
（2）對(duì)于直線AB，令x=0求出對(duì)應(yīng)y的值，確定出B的坐標(biāo)；令y=0求出對(duì)應(yīng)x的值，確定出A的坐標(biāo)，進(jìn)而得出OA與OB的長(zhǎng)，三角形OPQ的面積=直角三角形AOB的面積-三角形BOP的面積-三角形AOQ的面積，求出即可；
（3）由P與Q的橫坐標(biāo)，利用函數(shù)圖象找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)x的范圍即可．

解答：解：（1）將x=

1

2

，y=8代入反比例解析式得：8=

k

1 2

=4，即k=4；
∴反比例解析式為y=

4

x

，將Q坐標(biāo)代入反比例解析式得：m=1，
∴Q（4，1），
將Q坐標(biāo)代入直線解析式得：1=-4+b，即b=5，
故直線解析式為y=-x+5；
（2）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得：

y= 4 x y=-x+5

，
解得：

x=4 y=1

或

x=1 y=4

，
∴P（1，4），
對(duì)于直線y=-x+5，令x=0，求得y=5，令y=0求得x=5，
∴A（5，0），B（0，5），又P（1，4），Q（4，1），
∴OA=5，OB=5，
∴S_△OPQ=S_△AOB-S_△BOP-S_△AOQ
=

1

2

OA•OB-

1

2

OB•x_{P橫坐標(biāo)}-

1

2

OA•x_{Q縱坐標(biāo)}
=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1
=7.5；

（3）由圖象可得：當(dāng)1≤x≤4或x＜0時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值不小于反比例函數(shù)的函數(shù)值．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，數(shù)形結(jié)合的思想，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．