Question

已知長方形ABCD中，點E在AB邊上且AE=BC，F為EB的中點，M為AD邊的一個三等分點．
（1）畫出相應圖形，并求出圖中線段的條數；
（2）若圖中所有線段的長均為整數，且這些長度之和為39，求長方形ABCD的面積；
（3）若點G、H在邊DC上，N在BC上，且BN=AM，DG=AE，CH=BF，分別連接MN、EG、FH．求所得圖形中所有長方形的面積的和．

Answer 1

分析：（1）任意兩點都可以組成一條線段，所以n條線段可以組成

n(n-1)

2

條線段．
（2）根據題意列出二元一次方程組，再根據求二元一次方程的正整數解解答．
（3）根據圖形，把長方形的長和寬分別計算出來，然后計算出所求長方形的面積．

解答：解：（1）∵AB邊上共有4個點，
∴

n(n-1)

2

=

4(4-1)

2

=6，
∴AB邊上共有6條線段；
∵AD邊上共有3個點，
∴

n(n-1)

2

=

3(3-1)

2

=3，
∴AB邊上共有3條線段，
DC邊上共有1條線段，BC邊上共有1條線段，
6+3+1+1=11（條），
故共11條線段．

（2）根據題意設AE=BC=x，EF=FB=y，
AB邊上共有6條線段，長度和AE+AF+AB+EF+EB+FB=3x+7y，
AD邊上共有3條線段，長度和為AM+AD+MD=2x，
BC=x，DC=x+2y，
以上11條線段的長度和為7x+9y，得，
7x+9y=39，
因為所有線段的長均為整數，
解得：x=3，y=2，
ABCD的面積為7×3=21．

（3）所有長的和為3+5+7+2+4+2=23，
所有寬的和1+2+3=6，
所有長方形的面積和為6×23=138．

點評：本題主要考查二元一次方程整數解的求法，數形結合的方法經常是解決一些幾何問題的常用方法．