Question

如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為點(diǎn)B、C，且AB=4，DC=1，BC=4．
（1）求AD的長(zhǎng)．
（2）P在線段BC上，以每秒1個(gè)單位沿BC方向運(yùn)動(dòng)，是否存在AP⊥PD？若存在，則幾秒后使得AP⊥PD？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過D作DE⊥AB于E，由已知數(shù)據(jù)和勾股定理即可求出AD的長(zhǎng)；
（2）△ABP∽△PCD得出∠BPA+∠DPC=90°，即∠APD=90°，求出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而求出時(shí)間．

解答：解：（1）過D作DE⊥AB于E，
由題意可知：四邊形EBCD為矩形，
∴BE=CD，DE=BC，
∵AB=4，DC=1，BC=4，
∴AE=AB-BE=4-1=3，DE=4，
∴AD=

AE 2+DE 2

=5；
（2）解：存在．
如圖所示，AP⊥PD，
∴∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
又DC⊥BC，∴∠DCP=90°，
∴∠PDC+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠PDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
設(shè)BP=x，則CP=4-x，
∴4：（4-x）=x：1，
得出x=2，即BP=2，
∴t=

2

1

=2秒后使得AP⊥PD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用以及相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)和中考題中常見的存在性問題．