Question

已知：在內角不確定的△ABC中，AB=AC，點E、F分別在AB、AC上，EF∥BC，平行移動EF，如果梯形EBCF有內切圓．
當

AE

AB

=

1

2

時，sinB=

2 2

3

；
當

AE

AB

=

1

3

時，sinB=

3

2

（提示：

3

2

=

2 3

4

）；
當

AE

AB

=

1

4

時，sinB=

4

5

．
（1）請你根據以上所反映的規律，填空：當

AE

AB

=

1

5

時，sinB的值等于

 

；
（2）當

AE

AB

=

1

n

時（n是大于1的自然數），請用含n的代數式表示sinB=

 

，并畫出圖形，寫出已知、求證和證明過程．

Answer 1

分析：（1）

AE

AB

的分母加1即是sinB的分母，sinB的分子是2乘以

AE

AB

的分母的算術平方根，根據規律直接寫出答案即可；
（2）由已知條件先寫出已知和求證，再進行證明：
要想表示出sinB，需證明△AEM∽△ABN，得出

EM

BN

=

AE

AB

=

1

n

，再設EM=k，則BN=nk，作EH∥MN交BC于H，則HN=EM=k．
由勾股定理得EH=2

n

•k，則sinB=

EH

BE

=

2 n •k

(n+1)k

=

2 n

n+1

．

解答：解：（1）

5

3

（2）

2 n

n+1

圖形、已知、求證和證明過程如下：
已知：在△ABC中，AB=AC，EF∥BC，⊙O內切于梯形EBCF，點D、N、G、M為切點，

AE

AB

=

1

n

（n是大于1的自然數）
求證：sinB=

2 n

n+1

．
證法一：
連接AO并延長與BC相交
∵⊙O內切于梯形EBCF，AB、AC是⊙O的切線，
∴∠BAO=∠CAO．
∵EF∥BC，AB=AC，
∴AE=AF．
又M、N為切點，
∴OM⊥EF，ON⊥BC，
∴AO⊥EF于M，AO⊥BC于N．
∵EF∥BC，∴EM∥BN．
∴△AEM∽△ABN．
∴

EM

BN

=

AE

AB

=

1

n

．
設EM=k，則BN=nk．
作EH∥MN交BC于H，則HN=EM=k．
∵D、N、M為切點，
∴BD=BN=nk，ED=EM=k．
在△EHB中，∠EHB=∠MNB=90°，
BE=BD+DE=（n+1）k，
BH=BN-HN=（n-1）k，
由勾股定理得EH=2

n

•k
∴sinB=

EH

BE

=

2 n •k

(n+1)k

=

2 n

n+1

．
證法二：
接證法一中，∵EF∥BC，∴EM∥BN
∴

AM

AN

=

AE

AB

=

1

n

．
設AM=k，則AN=nk，MN=（n-1）k．
連接OD，∵D為切點，∴OD⊥AB
∴OM=OD=

1

2

MN=

(n-1)k

2

，OA=AM+MO=

(n+1)k

2

在Rt△AOD中，由勾股定理得AD=

n

•k
∵∠B+∠BAN=∠AOD+∠BAN=90°，
∴∠B=∠AOD
∴sinB=sin∠AOD=

AD

AO

=

n •k

(n+1)k 2

=

2 n

n+1

．

點評：本題考查的是切割線定理，切線的性質定理，勾股定理．