Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，有三點(diǎn)，且滿足：

（1）求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知，在y軸上有一點(diǎn) ，在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP和△ABC的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（C點(diǎn)除外）

Answer 1

【答案】（1） （2）P（0，5）或P（0，-2）或P（-10，0）

【解析】

（1）根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性、平方的非負(fù)性結(jié)合已知條件得出且且，解出a、b、c的值即可；

（2）分①當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)兩種情況討論，先求出△ABC的面積，再設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，列出△ABP面積的表達(dá)式，進(jìn)而利用△ABP和△ABC的面積相等得到方程，解方程即可.

解：（1）∵，且≥0，≥0，≥0，

∴且且，

解得：a=-3，b=3，c=4，

∴A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，，.

（2）在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)P，使△ABP和△ABC的面積相等.理由如下：

如下圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，由第（1）問(wèn)得：AC=7，BE=3，

圖1

S△ABC=AC·BE=.

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），

S△ABP=PD·AO+PD·OE=PD·(AO+OE) =PD·AE= ·|y-|×6，

∵S△ABP= S△ABC

∴·|y-|×6=，

解得：y=5或y=-2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）或（0，-2）；

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），如下圖2：

圖2

S△ABP=AP·BE=·|-3-x|×3，

∵S△ABP= S△ABC

∴·|-3-x|×3=，

解得：x=-10或x=4（舍去），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-10，0）.

綜上，在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)P，使△ABP和△ABC的面積相等，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）或（0，-2）或（-10，0）.