Question

在公式（a+1）²=a²+2a+1中，當a分別取1，2，3，…，n時，可得如下所示n個等式：
（1+1）²=1²+2×1+1，
（2+1）²=2²+2×2+1，
（3+1）²=3²+2×3+1，
…
（n+1）²=n²+2×n+1，
將這n個等式的左右兩邊分別相加，可推導出公式：1+2+3+…+n=

 

．（用含n的代數式表示）．

Answer 1

分析：將這n個等式的左右兩邊分別相加，去掉相同的項，即可化簡求得．

解答：解：把已知的式子左右分別相加得：（1+1）²+（2+1）²+（3+1）²+…+（n+1）²=1²+2²+3²+…+n²+2（1+2+…+n）+n，
即2²+3²+4²+…+（n+1）²=1²+2²+3²+…+n²+2（1+2+…+n）+n，
則（n+1）²=1+2（1+2+3+…+n）+n，
即2（1+2+3+4+…+n）=n²+n
∴1+2+3+4+5+6+…+n=

n(n+1)

2

．

點評：找出等式左右邊的規律，然后弄清按照什么規律變化，細心化簡即可．