Question

【題目】“構造圖形解題”，它的應用十分廣泛，特別是有些技巧性很強的題目，如果不能發現題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數方法去思考，經常讓我們手足無措，難以下手，這時，如果能轉換思維，發現題目中隱含的幾何條件，通過構造適合的幾何圖形，將會得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實例：

實例一：1876年，美國總統伽非爾德利用實例一圖證明了勾股定理：由四邊形得，化簡得：．

實例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關于的方程的圖解法是：畫，使，，，再在斜邊上截取，則的長就是該方程的一個正根(如實例二圖)．

根據以上閱讀材料回答下面的問題：

（1）如圖1，請利用圖形中面積的等量關系，寫出甲圖要證明的數學公式是　　　　，乙圖要證明的數學公式是　　　　，體現的數學思想是　　　　；

（2）如圖2，按照實例二的方式構造，連接，請用含字母、的代數式表示的長，的表達式能和已學的什么知識相聯系；

（3）如圖3，已知，為直徑，點為圓上一點，過點作于點，連接，設，，求證：．

　　　　

　　　　　　　　

Answer 1

【答案】（1）完全平方公式，平方差公式，數形結合的思想；（2），的表達式能和一元二次方程的求根公式相聯系；（3）證明見解析．

【解析】

（1）根據大正方形面積=各個部分面積之和，即可得到完全平方公式和平方差公式，進而即可得到答案；

（2）根據勾股定理以及一元二次方程的求根公式，即可得到答案；

（3）連接，，易證，，結合，即可得到結論．

（1）如圖1中，圖甲大正方形的面積，

圖乙中大正方形的面積，即：．

它們都體現了數形結合的思想．

故答案是：完全平方公式，平方差公式，數形結合的思想；

（2）∵在中，，，

∴，

∴；

解，由求根公式可得，

答：的表達式能和一元二次方程的求根公式相聯系；

（3）由已知，可得，連接，．

∵為直徑，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，即，

∵在中，，

∴，即，

∴．