Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，對稱軸為x=2的拋物線y=ax²+bx+c經過A、B兩點，與x軸交于另一點C．
（1）求該拋物線所對應的函數關系式及頂點M的坐標；
（2）將（1）中的拋物線在x軸下方部分沿著x軸翻折，點M的對應點為M′．
①判斷點M′是否落在直線AB上，并說明理由；
②若點P（m，n）是直線AB上的動點，點Q是（1）中拋物線上的動點，是否存在點P，使以點P、Q、M、M′為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據直線的解析式可以求出A點B點的坐標，然后根據對稱軸和A點坐標及拋物線的對稱性可以求出C點的坐標，再根據ABC的坐標利用待定系數法求出拋物線的解析式，最后化成頂點式就可以求出頂點坐標．
（2）①根據軸對稱求出M′的坐標，將該坐標代入直線的解析式判斷M′是否在直線上，使問題解決．
②根據平行四邊形的性質分兩種情況；當MM′是對角線和是邊時兩種不同的情況求出P點的相應坐標．

解答：解：（1）當x=0時，y=-0+3，則y=3
∴B（0，3）
當y=0時，0=-x+3，則x=3
∴A（3，0）
設對稱軸與x軸相交于點H，
∴H（2，0）
∴AH=1
根據拋物線的對稱性可知CH=1
∴OC=1
∴C（1，0）

3=c 0=9a+3b+c 0=a+b+c

解得

a=1 b=-4 c=3

拋物線的解析式為：y=x²-4x+3
y=（x-2）²-1
∴M（2，-1）

（2）①∵點M與點M′關于x軸對稱
∴M′（2，1）
∴MM′=2
當x=2時，y=-2+3=1，
∴M′在直線AB上
②存在，
當以MM′為四邊形的對角線時，
∵HM=HM′=1，CH=AH=1
∴四邊形CMAM′是平行四邊形，此時P、Q分別于A、C重合
∴P（3，0）
當以MM′為邊時
要使以點P、Q、M、M′為頂點的四邊形是平行四邊形
∴PQ∥MM′，PQ=MM′
∵P、Q是直線AB和（1）拋物線上的動點
∴P、Q的坐標分別為（m，-m+3）（m，m²-4m+3）
∴PQ=MM′=2
∴|m²-4m+3-（-m+3）|=2
∴m²-3m=±2
由m²-3m=2得m=

3± 17

2

∴P（

3+ 17

2

，

3- 17

2

）或（

3- 17

2

，

3+ 17

2

）
由m²-3m=-2得m=1或2
當m=2時，點P與M′重合，舍去．
P（1，2）
綜上所述，∴P₁（3，0），P₂（

3+ 17

2

，

3- 17

2

），P₃（

3- 17

2

，

3+ 17

2

），P₄（1，2）

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求拋物線的解析式，拋物線的圖象特征的運用，軸對稱的性質，平行四邊形的性質與判定．