Question

有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點A順時針旋轉90°后得到矩形AMEF（如圖1），連結BD、MF，此時他測得BD＝8cm，∠ADB＝30°．

小題1:在圖1中，請你判斷直線FM和BD是否垂直？并證明你的結論；
小題2:小紅同學用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學繼續探究．他們將△ABD繞點A順時針旋轉得△AB₁D₁，AD₁交FM于點K（如圖2），設旋轉角為β（0°＜β＜90°），當△AFK為等腰三角形時，請直接寫出旋轉角β的度數；

小題3:若將△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如圖3），F₂M₂與AD交于點P，A₂M₂與BD交于點N，當NP∥AB時，求平移的距離是多少.

Answer 1

小題1:垂直.  …………………………1分
證明：延長FM交BD于N.
如圖1，由題意得：△BAD≌△MAF．
∴∠ADB＝∠AFM．
又∵∠DMN＝∠AMF，
∴∠ADB＋∠DMN＝∠AFM＋∠AMF＝90°．
∴∠DNM＝90°，∴BD⊥MF．   2分
小題2:β的度數為60°或15°（答對一個得1分）   4分
小題3:如圖2，由題意知四邊形PNA₂A為矩形，設A₂A＝x，則PN＝x．

在Rt△A₂M₂F₂中，∵M₂F₂＝MF＝BD＝8，∠A₂F₂M₂＝∠AFM＝∠ADB＝30°．
∴M₂A₂＝4，A₂F₂＝. …………………………..5分
∴AF₂＝－x．
在Rt△PAF₂中，∵∠PF₂A＝30°．
∴AP＝AF₂30°＝(－x)·＝4－x．
∴PD＝AD－AP＝－4＋x． ……………..6分
∵NP∥AB，∴＝．∴＝，
解得x＝6－．即平移的距離是(6－)cm．………………7分

略