Question

已知直線y=2x-1與雙曲線y=

k

x

交于第一象限內一點A（ m，1）
（1）直接寫出該雙曲線的函數表達式：

y=

1

x

．
（2）根據圖象直接寫出解不等式2x-1＞

1

x

（x＞0）的解集：

x＞1

．
（3）若點B（

a2+b2

2ab

，n）（a≠b）在雙曲線y=

k

x

上，點P（x₀，0）是x負半軸上一動點，分別過點A、B作x軸的垂線交于點E₁和點E₂，連接PA、PB．
①求證：n＜1；
②當P點沿x軸向點E₁運動的過程中，試探索△PAE₁的面積與△PBE₂面積的大小關系．

Answer 1

分析：（1）把點A代入y=2x-1中，求出m的值，把A點坐標代入反比例函數解析式，求出k的值；
（2）根據圖象直接看出一次函數的圖象在反比例函數的圖象上方的x的取值范圍即可；
（3）①根據點B（

a2+b2

2ab

，n）（a≠b）在雙曲線y=

k

x

上，則

a2+b2

2ab

•n=1，再根據

a2+b2

2ab

＞1（a≠b），即可證得n＜1；
②首先根據反比例函數的性質可知S△AOE1=S△BOE2，再知S_△POA＞S_△POB，進而求出△PAE₁的面積與△PBE₂面積的大小關系．

解答：解：（1）∵直線y=2x-1過第一象限內一點A（ m，1），
∴1=2m-1，
解得m=1，
∴A點的坐標為（1，1），
∵雙曲線y=

k

x

過第一象限內一點A（ 1，1），
∴k=1，
∴雙曲線的解析式為y=

1

x

；
故答案為y=

1

x

；

（2）根據圖象直接看出當x＞1時，一次函數的圖象在反比例函數的圖象上方；
故答案為x＞1；

（3）①∵點B（

a2+b2

2ab

，n）（a≠b）在雙曲線y=

1

x

上，
∴

a2+b2

2ab

•n=1，
∵a²+b²＞2ab（a≠b），
∴

a2+b2

2ab

＞1，
∴n＜1；
②根據反比例函數的性質可知S△AOE1=S△BOE2，
再知S_△POA＞S_△POB，
故S△PAE1=S△AOE1+S_△POA＞S△PBE2=S△BOE2+S_△POB，
故△PAE₁的面積大于△PBE₂的面積．

點評：本題主要考查反比例函數的綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質，特別注意B點在A點的右側，此題難度一般．