Question

在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為，點B在第二象限，，cot∠AOB=3（如圖），一個二次函數y=ax²+b的圖象經過點A、B．
（1）試確定點B的坐標；
（2）求這個二次函數的解析式；
（3）設這個二次函數圖象的頂點為C，△ABO繞著點O按順時針方向旋轉，點B落在y軸的正半軸上的點D，點A落在點E上，試求sin∠ECD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點B作BH⊥AO，垂足為H，在Rt△BHO中，，設HB=x，則OH=3x，由勾股定理求得x，從而確定點B的坐標；
（2）由二次函數y=ax²+b的圖象經過點A、B，得方程組，求出這個二次函數的解析式；
（3）根據題意，得∠AOB=∠EOC，點E在第二象限，過點E作EG⊥CO，垂足為G，確定點C、E的坐標，再再由勾股定理求出CE，從而得出求sin∠ECD的值．
解答：解：（1）過點B作BH⊥AO，垂足為H，
在Rt△BHO中，，
設HB=x，則OH=3x，
∵，OH²+HB²=OB²，
∴，
∴x=1，
∴HB=1，OH=3，（2分）
∵點B在第二象限，
∴點B的坐標是（-3，1）；（1分）

（2）由二次函數y=ax²+b的圖象經過點A、B，點A的坐標為，
∴，（1分）
解此方程，得：，（2分）
∴這個二次函數的解析式是y=-x²+10；（1分）

（3）根據題意，得：∠AOB=∠EOC，點E在第二象限，
過點E作EG⊥CO，垂足為G，
與（1）的解法一樣可得：點E的坐標是（-1，3），
∴EG=1，OG=3（1分），
由（2），得：這個二次函數y=-x²+10的圖象的頂點是C（0，10），
∴OC=10，
∴CG=OC-OG=7，（1分）
在Rt△CGE中，CG²+EG²=CE²，
∴（1分），
sin∠ECD===（1分）．
點評：本題考查了二次函數的綜合題型，其中涉及二次函數解析式的確定、拋物線的頂點公式和勾股定理等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．