Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，EA為⊙O的切線，A為切點，D是EA上一點，且∠DBA=30°，DB交⊙O于點C，連接OC并延長交EA于點P．
（1）求證：OA=

1

2

OP；
（2）若⊙O的半徑為

3

cm，求四邊形OADC的面積．

Answer 1

分析：（1）由OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，由∠DBA=30°得到∠BCO=30°，再由∠AOC為三角形BOC的外角，利用外角性質求出∠AOP=60°，在直角三角形AOP中，得到∠OPA=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到OA為OP的一半，得證；
（2）過O作OF垂直于BC，交BC于點F，在直角三角形BOF中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出OF的長，再利用勾股定理求出BF的長，得出BC的長，由BC乘以BC上的高OF除以2得到三角形BOC的面積，同理在直角三角形ABD中，由AB的長，利用銳角三角函數定義求出AD的長，求出三角形ABD的面積，用三角形ABD的面積減去三角形BOC的面積，即可得到四邊形OADC的面積．

解答：解：（1）證明：∵OB=OC，∠DBA=30°，
∴∠OCB=∠DBA=30°，
∵∠POA為△BOC的外角，
∴∠POA=∠OCB+∠DBA=60°，
又∵EA切⊙O于點A，
∴∠PAO=90°，
∴∠APO=30°，
∴OA=

1

2

OP；
（2）過O作OF⊥BC，交BC于點F，
在Rt△OBF中，OB=

3

cm，∠B=30°，
∴OF=

1

2

OB=

3

2

cm，
根據勾股定理得：BF=

OB2-OF2

=

3

2

cm，
∴BC=2BF=3cm，
∴S_△OBC=

1

2

BC•OF=

3 3

4

cm²，
在Rt△BAD中，∠DBA=30°，AB=2

3

cm，
∴AD=AB•tan30°=2cm，
∴S_△BAD=

1

2

AD•AB=

1

2

×2×2

3

=2

3

cm²，
則S_{四邊形OADC}=S_△BAD-S_△OBC=2

3

-

3 3

4

=

5 3

4

cm²．

點評：此題考查了切線的性質，含30°直角三角形的性質，勾股定理，以及銳角三角函數定義，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．