Question

如圖所示，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）用尺規作圖：作△ABC的內切圓（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）如果AC=8，BC=6，試求△ABC內切圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）首先由三角形的內心是三角形三個角平分線的交點，確定圓心，然后作邊的垂線，確定半徑，繼而可求得△ABC的內切圓；
（2）由三角形的面積等于其內切圓的半徑與周長積的一半，即可求得△ABC的內切圓的半徑．

解答：解：（1）①分別作出∠BAC與∠ABC的角平分線，這兩條角平分線的交點是△ABC的內切圓的圓心O，
②過點O作OD⊥BC于點D，
③以O為圓心，OD長為半徑畫圓，
則⊙O即是△ABC的內切圓；

（2）設△ABC內切圓的半徑為r，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×6=24，AB+AC+BC=24，
∵S_△ABC=

1

2

（AB+AC+BC）r，
∴r=

2S△ABC

AB+AC+BC

=

2×24

24

=2．

點評：此題考查了三角形的內切圓與內心的性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．