Question

在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點P是在線段BC上任意一點（與點B不重合），∠BPE=

1

2

∠BCA，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G．
（1）若ABCD為正方形，
①如圖（1），當點P與點C重合時．△BOG是否可由△POE通過某種圖形變換得到？證明你的結論；
②結合圖（2）求

BF

PE

的值；
（2）如圖（3），若ABCD為菱形，記∠BCA=α，請探究并直接寫出

BF

PE

的值．（用含α的式子表示）

Answer 1

分析：（1）△BOG可由△POE繞點O順時針旋轉90°得到，求出△BOG≌△POE即可；
（2）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出證△BMN≌△PEN，推出BM=PE，證△BPF≌△MPF，推出BF=FM，即可求出答案；
（3）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出證△BMN≌△PEN，推出BM=PE，證△BPF∽△MPF，得出比例式，根據銳角三角形函數的定義即可求出答案．

解答：（1）△BOG可由△POE繞點O順時針旋轉90°得到．
證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，P與C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°-∠BGO，
∠EPO=90°-∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，
在△BOG和△POE中

∠GBO=∠OCE OB=OC ∠BOG=∠COE

∴△BOG≌△POE．
∴OE=OG，
又∵∠EOG=90°，
∴將線段OE繞點O順時針旋轉90°就得到OG．
又∵OB=OP，∠POB=90°，
∴將線段OP繞點O順時針旋轉90°就得到OB．
∴△BOG可由△POE繞點O順時針旋轉90°得到．

（2）如圖2，作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB，
∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB，
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中

∠MBN=∠NPE NB=NP ∠MNB=∠ENP

∴△BMN≌△PEN，
∴BM=PE．
∵∠BPE=

1

2

∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．
又∵在△BPF和△MPF中

∠BPF=∠MPF PF=PF ∠BFP=∠MFP

∴△BPF≌△MPF，
∴BF=MF，即BF=

1

2

BM，
∴BF=

1

2

PE，即

BF

PE

=

1

2

．


（3）如圖2，過P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠BPN=∠BCA，
∵∠BPE=

1

2

∠BCA，
∴∠BPF=∠MPF，
∵PF⊥BG，
∴∠BFP=∠MFP，
在△BFP和△MFP中

∠BFP=∠MFP PF=PF ∠BPF=∠MPF

∴△BFP≌△MFP（ASA），
∴BF=FM，
即BF=

1

2

BM，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DB⊥AC，
∵PM∥AC，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，
∴∠BNM=90°
∵∠PFM=90°，
∴∠MBN+∠BMN=90°，∠MPF+∠BMN=90°，
∴∠MBN=∠NPE，
∵∠BNM=∠ENP，
∴△BMN∽△PEN．
∴

BM

PE

=

BN

PN

，
∵tanα=

BN

PN

=

BM

PE

=

2BF

PE

，
∴

BF

PE

=

1

2

tanα．

點評：本題考查了正方形性質，旋轉的性質，全等三角形的性質和判定，銳角三角函數的定義等知識點的應用，題目綜合性比較強，難度偏大．