Question

如圖，已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數y=

1

2x

的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．則AF•BE=

 

．

Answer 1

分析：根據OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，則△NBF也是等腰直角三角形，由于P的縱坐標是b，因而F點的縱坐標是b，即FM=b，則得到AF=

2

b，同理BE=

2

a，根據（a，b）是函數y=

1

2x

的圖象上的點，因而b=

1

2a

，ab=

1

2

，則即可求出AF•BE．

解答：解：∵P的坐標為（a，

1

2a

），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐標為（0，

1

2a

），M點的坐標為（a，0），
∴BN=1-

1

2a

，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1-

1

2a

，
∴F點的坐標為（1-

1

2a

，

1

2a

），
∵OM=a，
∴AM=1-a，
∴EM=AM=1-a，
∴E點的坐標為（a，1-a），
∴AF²=（-

1

2a

）²+（

1

2a

）²=

1

2a2

，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF•BE=1．
故答案為：1．

點評：本題主要考查了反比例函數圖象上的點的特點，圖象上所有的點都滿足函數解析式．