Question

如圖：菱形PQRS內接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S為AB、BC、CD、DA上的內點．已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40．若既約分數

m

n

為矩形ABCD的周長，求m+n．

Answer 1

分析：由菱形性質知PR⊥SQ，且互相平分，這樣得到8個直角三角形，易知PR與SQ的交點是矩形ABCD的中心．由已知可得其中6個三角形的邊長分別為15、20、25．由對稱性知CQ、CR的長為x、y．則Rt△ASP和Rt△CQR的三邊長分別為x、y、25，矩形面積等于8個Rt△的面積之和．設AS=x、AP=y，即可列出關于x、y的關系式，解得x、y即可計算m+n的值．

解答：解：設AS=x、AP=y，
由菱形性質知PR⊥SQ，且互相平分，這樣得到8個直角三角形，易知PR與SQ的交點是矩形ABCD的中心．由已知可得其中6個三角形的邊長分別為15、20、25．由對稱性知CQ、CR的長為x、y．則Rt△ASP和Rt△CQR的三邊長分別為x、y、25，矩形面積等于8個Rt△的面積之和．則有：
（20+x）（15+y）=6×

1

2

×20×15+2×

1

2

xy
則有3x+4y=120 ①
又x²+y²=625 ②
得x₁=20x₂=

44

5

y₁=15y₂=

117

5

當x=20時BC=x+BQ=40這與PR=30不合
故x=

44

5

y=

117

5

∴矩形周長為2（15+20+x+y）=

672

5

即：m+n=677

點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考察額菱形各邊長相等、對角線互相垂直的性質，本題中根據x、y的關系式求x、y的值是解題的關鍵．