Question

如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對稱的一部分和矩形的一部分構成，最大高度為6米，底部寬度為12米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系．
（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；
（2）求出這條拋物線的函數解析式；
（3）若要搭建一個矩形“支撐架”AD+DC+CB，使C、D點在拋物線上，A、B點在地面OM上，這個“支撐架”總長的最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）看圖可得出M，P的坐標．
（2）已知M，P的坐標，易求出這條拋物線的函數解析式．
（3）設A（m，0），則B（12-m，0），C（12-m，-

1

12

m2+m+3），D（m，-

1

12

m2+m+3）可得支撐架總長．

解答：解：（1）由題意得：
M（12，0），P（6，6）；

（2）由頂點P（6，6）設此函數解析式為：y=a（x-6）²+6，
將點（0，3）代入得a=-

1

12

，
∴y=-

1

12

（x-6）²+6
=-

1

12

x²+x+3；

（3）設A（m，0），則
B（12-m，0），C（12-m，-

1

12

m²+m+3），D（m，-

1

12

m²+m+3）
∴“支撐架”總長AD+DC+CB=（-

1

12

m²+m+3）+（12-2m）+（-

1

12

m²+m+3）=-

1

6

m2+18
∵此二次函數的圖象開口向下．
∴當m=0時，AD+DC+CB有最大值為18．

點評：求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．